à Suites et séries de fonctions :
Suites de fonctions :
Def : fn cvge simplement vers f : Aà F si " aÎ A, f(x) soit la limite de fn(x) qd nà +¥
Convergence uniforme : fn cvge uniformément vers f : Aà F qd
" nÎ N, fn-f bornée sur A et la suite Mn=Sup ||fn(x)-f(x)|| cvge vers 0
fn cvge uniformément vers f Þ fn cvge simplement vers f
Def : (fn) suite d’applic, (fn) cvge unif de Cauchy qd
" (p,q)Î N², fp-fq bornée et " e >0, $ NÎ N, " (p,q)Î N², p³ q³ N Þ Sup ||fp(x)-fq(x)||£ e xÎ A
Th : une suite unif de Cauchy est unif cvgte
Cvgence en moyenne : cvgence dans Lc1(I,K) pour ||.||1
Cvgence en moyenne quadratique : cvgence dans Lc2(I,K) pour ||.||2
Th d’interversion des limites :
a adhérent à A (fn) applic Aà F de dim finie tq " n, $ ln=lim fn(x) qd xà a et (fn) cvge unif vers f
alors (ln) cvge, f a une limite en a suivant A et
corollaire : si " nÎ N, fn cont sur A et fn cvge unif vers f sur A alors f cont sur A
Th d’intégration et dérivation pour des suites qui cvgent uniformément
Th de Lebesgue :
I int de R, (fn) suite croissante de fct cont pm (" nÎ N, fn<=fn+1) et int Ià R qui CS sur I vers f cont pm sur I
f int Û (ò fn sur I) majorée et alors ò f sur I=Sup ò fn sur I=lim (ò fn sur I) qd nà +¥
(fn) suite d’applic Ià C cont pm, g cont pm int de I dans R+
Si " nÎ N, |fn|£ g et (fn) CS sur I vers f cont pm alors f int sur I et ò f sur I=lim (ò fn sur I) qd nà +¥
Séries de fonctions :
la série de t.g. un cvge simplement (resp. unif) de somme S(x) qd (Sn) cvge simplement (resp. unif) vers S
Elle cvge absolument qd "
x, 
cvge (en général dans Rn, ||.|| = val absolue)
cvgence abs Þ CS
Def : la série de t.g. un cvge normalement sur A qd " nÎ N, un bornée sur A et la série de t.g. a n=Sup |un(x)| cvge
Th : CN Þ abs et unif cvgte
Th d’interversion de S et de limite :
(un) suite d’applic Aà C a adhérent à A
Si lim un(x)=ln qd xà a et S un cvge UNIF sur A de somme S alors S ln cvge, lim S(x) qd xà a existe et
(un) suite d’applic cont, si la série de t.g. (un) cvge unif Þ la somme est continue
Th d’intégration et de dérivation pour séries qui CU sur [a,b]
Th de Lebesgue (cf suites ...)
Approximation ploynômiale :
1er th de Weierstrass : f cont [a,b]à C, $ suite de fct polyn [a,b]à C qui CU vers f
Def : polynôme trigo : c.l. finie des fcts einx nÎ Z
2ème th de Weierstrass : f : Rà C cont 2p -périodique, $ suite de polyn. trigo qui cvge vers f
à Séries entières :
Def : série d’applic (un) Cà C où un est un monôme de deg n
un(z)=an.zn
Lemme d’Abel :
r réel >0 tq (|an|.r n) bornée
si |z|<r S un(z) cvge
Si rÎ ]0,r [, S un(z) CN donc CU dans Bf(0,r)
Rayon de convergence de S anzn : Sup {r ³ 0, (|an|.r n) bornée} élément de [0,+¥ ]
cercle créé : cercle d’incertitude
Th : S anzn et S bnzn de rayon de CV Ra et Rb, si " nÎ N, |an|£ |bn| alors Ra³ Rb
Règle de d’Alembert : S anzn série entière à coef ¹ 0 si lim |an+1/an|=a alors R=1/a
(Par convention 1/0=+¥ et 1/¥ =0)
Prop : la série de rayon R CN Þ CU sur tout compact contenu dans le disque ouvert de CV
Th : la somme d’une série entière est continue dans le disque ouvert de CV
Def : Série dérivée de S anzn : S (n+1)an+1zn avec le même rayon de CV
Intégration : S anzn de rayon de CV : R de somme f sur ]-R,R[
primitive de f : c+S an-1/n.zn
Th : " nÎ N, f(n)(0)=n !.an et " xÎ ]-R,R[, f(x)=f(n)(0)xn/n!
Def : f devel en série entière qd il existe une série entière S anzn de rayon non nul qui coïncide avec f sur un voisinage de 0
| Cond Nécessaire : il faut que f soit de cl C¥ et |  |
(Taylor) |
Fcts usuelles :
Les rayons de CV sont +¥
cos(z)=ch(iz) i.sin(z)=sh(iz)
Formules de trigo à partir de la def des exp, sin et cos
 |
R=1 |  |
R=1 |  |
R=1 |
Par utilisation des formules des DL ...
à Fonctions définies par des intégrales :
Intégrales ½ cvgentes : f : [a,b[à E cont pm et F(x)=ò f(t).dt (entre a et x) et F’=f
ex : f : tà sin t/t et f(0)=1
f : AxIà F cont pm
(x,t)à f(x,t) int dépendant d’un param : F(x)=ò I f(x,t).dt
Th : si f continue alors F est continue (sur compact)
Th de dérivation sous le signe somme:
[a,b] compact de R, f :Ix[a,b]à F, si f cont et de der partielle ¶ f/¶ x cont alors F(x)=ò f(x,t).dt (sur [a,b]) est de classe C1 sur I et F’(x)=ò ¶ f(x,t)/¶ x .dt(sur [a,b])
Th d’intégration :
f : [a ,b ]x[a,b]à F cont
(x,t)à f(x,t) et F(x)=ò f(x,t).dt (sur [a,b])
| alors |  |
Th de continuité :
f cont sur AxI tq fx : tà f(x,t) int sur I et j fct cont ³ 0 et int sur I
si " (x,t)Î AxI, |f(x,t)|£ j (t) (hyp de domination)
g(x)=ò I f(x,t).dt est cont sur A
(Valable si on remplace hyp de domination par " K compact de A, $ j Kcont ³ 0 int tq |f(x,t)|£ j K(t)
Th de dérivation :
f cont sur AxI et ayant une der partielle cont sur AxI, si f vérifie l’hyp de domin par j et ¶ f/¶ x par y alors g(x)=ò If(x,t).dt de classe C1 sur A et g’(x)=ò I ¶ f(x,t)/¶ x .dt
(valable avec les compacts ...)
La fonction G
: G
(x)=
elle est def sur ]0,+¥
[
Th : elle vérifie la relation fonctionnelle " x>0, G (x+1)=x. G (x)
Th : " nÎ N, G (n+1)=n ! et G (1/2)=Ö (p )
La fct G est C¥ sur ]0,+¥ [ et " nÎ N, G (n)(x)=ò (ln t)ne-ttx-1dt